两类平几题的辅助圆解（证）法

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初中数学网，站长毛永吉，本科毕业，从事初高中数学教育30年整，对初中数学教材、教法学法、解题方法技巧有深入的研究，曾在省级和国家级数学刊物上发表数学论文 20余篇。以下是其中的一部分，望各位同行指教。

两类平几题的辅助圆解（证）法

毛永吉

发表于“数学教学通迅”1991年笫3期

添加辅助线是解决初等几何问题的重要手段之一，同时也往往是解题的关键之所在。以点、线段和直线等作为辅助线是大家最熟悉和最常用的，至于以圆或圆弧作为辅助线则少见。本文专门谈以圆作为辅助线（称为辅助圆）的两类平几问题。

一、共端点的等线段问题，常作以公共端点为圆心，等长线段为半径的确圆，则易沟通题设和结论的联系，使问题迅速获解。

例1 已知四边形ABCD中，AB//CD，AB=AC=AD=5，BC= ，求BD.

解：以A为圆心、AB为半径画圆，则B、C、D三点在⊙A上.

延长BA交⊙A 于E，连结DE.

例2 （上海1984年初中数学竞赛题）如图，AB=AC=AD，∠DAC是∠CAB的K倍，则∠DBC是∠BDC的（）倍.

（A）K倍；（B）2K倍；（C）3K倍；（D）都不对.

解：以A为圆心，AB为半径画圆，则B、C、D三点在⊙A上.

由圆周角定理可得 . 所以答案是（A）.

例3 如图，AB=AC=AD=BC，AH⊥CD，CP⊥BC.

证明：以A为圆心AB为半径作⊙A，则B、C、D都在⊙A上，且

∴ ∠BDC=∠ACP.

∴△BDC∽△ACP. ∴BC：AP=BD：AC. ∴BC2 =AP·BD.

二、共顶点的等角问题，常作以公共顶点为一个顶点的三角形的外接圆，从而使等角与辅助圆中有关角的性质建立起联系，从而使问题获得简捷的解决。

例4 △ABC中，∠A的外角平分线交BC的延长线于D.

证明：作△ACD的外接圆交BA的延长线于F.

连结FD，则DC=DF.

∵∠ACB=∠DFB，∠B=∠B，∴△ABC ∽△DBF

例5 证明任何三角形三个内角的平分线的连乘积必小于三边的连乘积.

证明：设a、b、c及ta、tb、tc为△ABC的三条边及三条角平分线。作△ABC的外接圆交∠A的平分线AD的延长线于E，连EC，则△EAC∽△BAD

同理 ac>tb2,ab>ta2.

∴a2b2c2>ta2tb2tc2,即abc>tatbtc.

例6 自△ABC的顶点A引两条射线交BC于D、E，使∠BAD=∠CAE.

（上海市1986年初中数学竞赛题）

证明：作△ADE的外接圆交AB于F，交AC于H，连FH、则

∴FH∥BC.

显然，当E重合于D时，有

这就是三角形内角平分线性质定理；当BD=CE时,有BE=CD，从而有

这就是1986年全国初中数学竞赛题

例7 在△ABC中，∠C=3∠A，a=27,c=48,求b（第36届美国中学生数学竞赛题）。

解：作∠ACD=∠BCE=∠BAC交△ABC的外接圆于D、E，连AD、DE、EB、DB，则AD=DE=EB=BC=27，DC=AB=48.

设DB=CE=x，则在四边形DEBC中，由托勒密定理，有

在四边形ADBC中，由DB·AC+AD·BC=AB·DC得

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